MAKALAH MATEMATIKA “PELUANG”

MAKALAH MATEMATIKA

“PELUANG”

KATA PENGANTAR 

Assalamu’alaikum. Wr. Wb.

Kita panjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat-NYA, sehingga kami penyusun dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini. Tidak lupa shalawat serta salam selalu kita curahkan kepada junjungan kita Nabi besar Muhammad SAW yang telah membimbing umatnya di jalan yang benar. 

Kami ucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang sudah membantu dalam penyusunan makalah ini. Makalah ini kami susun berdasarkan tugas dari mata kuliah Bahasa Indonesia yang berjudul “PELUANG”.

Akhir kata, semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua khusunya para remaja. Penyusun juga meminta maaf apabila banyak kesalahan dalam penyusunan makalah ini.

Wassalamu’alaikum. Wr. Wb.

Kajen, 31 Juli 2015

Penyusun

BAB I
PENDAHULUAN

Peluang merupakan materi pembelajaraan keenam dari Matematika. Teori peluang bukan bahan baru lagi bagi anda, karena teori ini sudah anda pelajari dalam Matematatika tingkat SMP maupun SMA. Teori peluang ini juga dikenal teori probabilitas atau teori kemungkinaan.

Peluang banyak digunakan dibidang lain, selain bidang Matematika. Ahli fisika menggunakan peluang untuk mempelajari macam-macam gas dan hukum panas dalam teori atom. Ahli biologi mengaplikasi teknik peluang dalam ilmu genetika dan teori seleksi alam. Dalam dunia bisnis teknik peluang digunakan untuk pengembalian keputusan.

Peluang merupakan teori dasar stastistika, suatu disiplin ilmu yang mempelajari pengumpulan, pengaturan, perhitungan, penggambaran dan penganalisisan data, serta penarikan kesimpulan yang valid berdasarkan penganalisisan yang dilakukan dan pembuatan keputusan yang rasional.

Pada makalah ini anda akan mempelajari pengertian dan aturan dalam peluang. Dalam mempelajarinya anda diharapkan dapat menggunakan konsep permutasi, kombinasi dan peluang untuk menyelesaikan masalah dalam Matematika atau bidang lain. Sementara secara khusus setelah mempelajari materi ini, anda diharapkan dapat :

1.      Menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombinasi.

2.      Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kon\mbinasi dalam pemecahan soal.

3.      Menentukan banyak kemungkinaan kejadian dari berbagai situasi.

4.      Menentukan ruang sampel suatu percobaan acak.

5.      Menentukan peluang kejadian dari berbagai situasi.

6.      Memberi tafsiran peluang kejadian dari berbagai situasi.

7.      Menentukan peluang komplemen suatu kejadian.

8.      Merumuskan aturan penjumlahan dan perkalian dalam peluang kejadian mejemuk.

9.      Menggunakan aturan penjumlahan dan perkalian dalam peluang kejadian mejemuk

BAB II

PEMBAHASAN

A.   Peluang Suatu Kejadian Peluang

Peluang Suatu Kejadian Peluang adalah munculnya suatu kejadian yang memiliki ruang sampel dan titik sampel. Ruang sampel yaitu himpunan semua hasil yang mungkin dari sebuah percobaan. Jika suatu anggota ruang sampel mempunyai peluang yang sama untuk muncul maka peluang kejadian A yang memiliki anggota sebanyak n (A) : P(A) = , A S . Titik sampel yaitu,setiap anggota ruang sampel,disebut juga kejadian yang mungkin. Jika A komplemen kejadian A maka peluang kejadian A : P(A) = 1 P(A).
Contoh :

Percobaan melambungkan sekeping uang logam satu kali, berapakah peluang munculnya gambar? Jawab : Ruang sampelnya, S = {A,G}, n (S) = 2. Misalkan B adalah kejadian munculnya gambar : A = {G} ; n(A) = 1 , Jadi, peluang munculnya gambar adalah P(B) = = ·

Kiasaran nilai peluang Jika S adalah suatu ruang contoh dari suatu percobaan, E adalah suatu kejadian, dan P adalah suatu fungsi peluang, maka P(E) adalah peluang kejadian E yang bernilai nyata jika memenuhi tiga sifat berikut :

1.      0 P(E) 1, untuk setiap E

2.      P(S) = 1

3.      P(E 1 E2) = P(E 1) + P (E2), untuk E1 dan E2 dan kejadian yang lepas atau E 1 E2 = 0

Contoh :

Pada percobaan melempar dua dadu bersama-sama, berapakah peluang mendapatkan :

a.       Jumlah kedua mata dadu 9

b.      Jumlah kedua mata dadu 6?

Jawab ;

a.       Jika kejadian A = {jumlah mata dadu 9} maka, A = {(6,3), (5,4),(4,5), (3,6)} n(A) = 4 p(A) = =

b.      Jika kejadian B = {jumlah mata dadu 6} maka, B = {(5,1),(4,2), (3,3),(2,4), (1,5)} n(B) = 5 , P(B) =

B.     Frekuensi Harapan Frekuensi harapan adalah hasil kali peluang kejadian dengan banyaknya percobaan. F(E) = P(E).n Contoh : Sekeping uang logam dilemparkan 30 kali, maka frekuensi harapan muncul gambar adalah ? Jawab : F(G) = .30 = 15 kali

C.     Kaidah Pencacahan Jika suatu himpunan A memuat r dan himpunan B memuat s elemen maka A B adalah suatu himpunan yang memuat r s elemen, dimana r s elemen memuat pasangan berurut (a;b) dengan a dan b B. Misalnya A = {1,3,5} dan B = {x,y} maka A B = {(1 . n (A) = 3, n (B) = 2, n (A ).Ilustrasi diatas menunjukkan bahwa М jika peristiwa pertama dapat diilakukan dengan n cara yang berbeda dan kemudian dilanjutkan dengan peristiwa kedua yang dapat dilakukan dengan m cara berbeda maka, kedua peristiwa itu dapat dilakukan secara bersama-sama dengan n cara yang berbeda Н

Contoh ; Seseorang mempunyai 4 kaos dan 3 celana. Dengan beberapa pasangan yang berbeda, dia dapat memakai kaos dan celana tersebut ? Jawab ; Ia dapat memakai kaos dengan 4 cara, ia dapat memakai celana dengan 3 cara.
Maka ia dapat memakai kaos dan celana yang berbeda sebanyak 4 3 = 12 cara.

D.    Permutasi Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur suatu himpunan adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian unsur-unsur himpunan itu dengan memperhatikan urutannya. Jadi : AB BA,PQ QR, 12 21, dsb.

1.      Notasi Faktorial n ! (n faktorial) adalah perkalian bilangan asli dari 1 sampai n, yaitu 1 atau n . Dalam hal ini didefinisikan = 1! = 1 dan 0! = 1 jadi, n ! = n(n-1)(n-2)Ц3
Contoh ; Carilah nilai dari, a) 5! , b), c) Jawab ; a) 5! = 5.4.3.2.1 = 120 b) = = 6 c) = = 56

2.      Permutasi dari unsur yang berbeda · 6P3 = = = 120 · 7P2 = = = 42 Dari contoh soal diatas, maka dapat didefinisikan bahwa : permutasi МrН unsur yang diambil М Н unsur yang tersedia adalah susunan dari r unsur dengan satu urutan, dan ditulis dengan notasi P atau P atau P.

3.      Permutasi dari unsur yang sama· Berapa banyak susunan huruf-huruf yang berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata : o SSST B Huruf-huruf dari SSST dapat disusun berbeda : SSST,SSTS, STSS,TSSS Jadi, ada 4 macam susunan yang berbeda. ATAU B P = = = 4macam susunan

4.      Permutasi Siklis (Permutasi melingkar) Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek adalah (n-1)!
Contoh ; Dengan berapa cara 9 kue yg berbeda dapat diisusun melingkar diatas sebuah meja ? Jawab ; P = (9-1)! = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320

E.     Kombinasi Kombinasi adalah susunan beberapa unsur yang diambil dari sebagian atau semua unsur suatu himpunan tanpa memperhatikan urutannya. Banyaknya kombinasii dari n unsur diambil r unsur dengan r unsure dengan r n C (n,r) Contoh : Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5} Berapa himpunan bagian dari A yang terdiri atas 3 unsur ? Jawab : C (5,3) = = = = 10

F.      Ekspansi Binominal Secara umum untuk sembarang bunominal (a+b) dan bilangan asli n dapat diperoleh : (a+b) n = C (n,o) a n + C(n,1) a n-1 b + C(n,2) a n-2 b2 + Ц + C(n,n) b n = an-r br Bentuk rumus ruas kanan diatas dinamakan ekspansi binominal atau binomium Newton. Rumus binomium newton : (a+b) n = an-r br
Contoh : Carilah koefisien dari suku ke-7 pada (4x-y 3)9 !
Jawab : n = 9, a = 4x, b = -y 3, r = (7- 1) = 6 suku ke-7 : C (9,6) (4x) 9-6 (- y3)6 = 64x 3y18 = 64x3y18 = 5.376 x 3y18 Jadi, koefisien suku ke-7 adalah 5.376

G.    Ruang sample dari suatu percobaan akan berbeda-beda tergantung pada tujuan percobaan tersebut atau tergantung pada hasil yang diamati. Contoh : Pada percobaan melemparkan dua mata logam bersama-sama, dimana sisi-sisi uang logam adalah gambar (G) dan angka (A).
Tuliskan : (i) ruang sampel sisi logam (ii) ruang sampel sisi gambar Jawab : (i) Ruang sampel sisi uang logam yang muncul yaitu : S1 = {(A,A);(A,G);(G,A); (G,G)} atau {AA, AG, GA, GG} (ii) Jika yang diamati adalah munculnya sisi gambar maka ruang sampelnya :
S 2 = {0, 1,2} Unsur 0 menyatakan tidak ada gambar yang muncul, Unsur 1 menyatakan sebuah gambar yang muncul, dan Unsur 2 menyatakan dua gambar yang muncul pada kedua sisi uang logam

H.    Kejadian Majemuk Kejadian majemuk

Kejadian Majemuk Kejadian majemukadalah kejadian yang dibentuk dari menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana.

1.      Dua kejadian saling lepas Jika A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S, maka peluang gabungan kejadian A dan B adalah : P (A B) = P(A) + P(B) Г P (A B) Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu maka kita katakan dua kejadian terebut adalah saling lepas. Untuk kejadian yang saling lepas (saling asing/saling eksklusif), maka P(A B) = P ( ) = 0 Jika A dan B dua kejadian saling lepas, maka P(A B) = P(A) + P(B)
Contoh : Pada pengambilan satu kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa peluang mendapatkan artu as atau king?
Jawab : Misalkan, A kejadian mendapatkan As dan B kejadian mendapatkan king, maka A B tidak mungkin terjadi .
Jadi, P(A B) = P(A) + P(B) = + =

2.      Dua Kejadian Saling Bebas

a.       Bola pertama dikembalikan sebelum bola kedua diambil. Jika E 1 dan E 2 adalah dua kejadian dengan syarat bahwa peluang bagi kejadian : E1 tidak mempengaruhi kejadian E 2, maka E 1 dan E 2 disebut sebagai kajadian-kejadian saling bebas. Dan berlaku rumus P(E 1 E2) = P (E1).P(E 2)

b.      Bola pertama tidak dikembalikan sebelum bola kedua diambil Jika E 1 dan E 2 adalah dua kejadian dengan syarat bahwa peluang kejadian E 1 akan mempengaruhi kejadian E 2, maka E 1 dan E 2 disebut sebagai Мkejadian BersayaratН.
Tidak saling bebas Dan berlaku rumus : P(E 1 E2) = P (E1).P(E 2/E1) · P(E 2/E1) dibaca peluang kejadian E2 dengan syarat E1 telah terjadi Contoh : Sebuah dadu isi enam dilambungkan dua kali. Berapakah peluang bahwa nomor yg muncul pada lemparan pertama adalah due dan nomor yang muncul pada lemparan kedua lebih dari dua ?
Jawab : S = {1,2,3,4,5,6} maka n (S) = 6 Misalkan E 1 = {kejadian nomor 2 muncul pada lemparan pertama} E1 = {2} B n (E2) = 4 Maka : P(E 1) = = dan P (E2) = = = Karena kejadian E 1 dan E2 saling bebas, maka : P(E 1 E2) = P(E 1).P (E2) =
Contoh 2 : Sebuah tas berisi 5 bola hitam dan 3 bola putih. Diambil secara acak dua kali berturut-turut masing-masing satu bola, tanpa pengembalian. Berapa peluang mendapatkan keduanya bola putih?
Jawab: Jika A kejadian mendapatkan bola putih pada pengambilan pertama. Maka kejadian B pada pengambilan kedua tidak saling bebas terhadap A, sebab tanpa pengembalian.
Jadi, B terjadi dengan syarat A telah terjadi, maka P(A) = = dan P(B/A) = = Karena, kejadian A dan B tidak saling bebas, maka : P(A B) = P(A).P(B/A) = . = Jadi, peluang mendapatkan keduanya bola putih adalah

BAB III
PENUTUP

A.    Kesimpulan

Didalam makalah ini kita dapat mempelajari matematika tentang peluang. Pada bab peluang, materinya meliputi kaidah pencacahan, permutasi,kombinasi, ekspansi binominal, ruang sampel, peluang, frekuensi harapan, komplemen dan kejadian majemuk.

Permutasi adalah susunan yang berbeda yang dapat dibentuk dari n unsur yang diambil dari n unsur atau sabagai unsur. Kombinasi adalah susunan beberapa unsur yang diambil dari sebagian atau semua unsur suatu himpunan tanpa memperhatikan urutannya. Ruang sampel adalah himpunan yang memuat semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Peluang kejadiaan adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Frekuensi harapan adalah hasil kali peluang kejadian dengan gabungkan dua atau lebuh kejadian sederhana.

Sifat-sifat peluang, misalnya S suatu ruang sampel dan A suatu kejadian pada ruang sampel S.

a.       Jika A = Ø maka P (A) = O

b.      Nilai peluang kejadian A, yaitu P (A) berkisar dari O sampai 1 (O ≤ P (A) ≤ 1).

c.       Jika S ruang sampel maka P (S) = 1.

B.     Penutup

Demikian makalah yang dapat penulis susun, penulis menyadari bahwa makalah ini jauh dari kesempurnaan. Karena itu, keterbatasaan ini kiranya akan dapat diminimalis dengan partisipasi pembaca untuk memberikan saran dan kritik yang kinstruktif agar makalah kedepan dapat lebih baik